Paradoxul lui Russell și teoria tipurilor

de lect. univ. dr. Vasile CHIRA
Facultatea de Teologie „Andrei Şaguna” Sibiu

Bertrand Arthur William Russell

Matematicianul, filosoful şi istoricul britanic Bertrand Russell este unul dintre reprezentanţii de seamă ai filosofiei analitice alături de Frege, Carnap, Moore, Wittgenstein, Quine, Ryle sau Austin. Iniţiatorul atomismului logic[1] s-a născut la 18 mai 1872 la Trellech, Monmouthshire (Ţara Galilor), într-o familie cu rădăcini aristocrate. Bunicul său pe linie paternă, John Russell, a ocupat o perioadă postul de prim-ministru al Marii Britanii. Rămas de copil fără părinţi, a fost crescut şi educat de profesori particulari şi de guvernante, sub supravegherea bunicii sale, o femeie severă, grijulie, însă de o religiozitate excesivă, ceea ce-l va face pe Bertrand să se revolte încă de tânăr. În 1890 începe să studieze matematica la Universitatea din Cambridge (Trinity College) unde-l are ca profesor pe Alfred Nort Whitehead. Între anii 1895-1901 a fost angajat pe un post de cercetător la Trinity College. Ateismul său manifest, conflictele cu autorităţile, revolta împotriva eticii sexuale tradiţionale, dar şi angajamentele sale politice au făcut ca Russell să nu aibă o carieră universitară constantă. În 1915 a fost înlăturat din postul de lector, pe care-l ocupa la Univesitatea din Cambridge din 1910. În 1938, împreună cu cea de-a treia soţie (Patricia), este invitat să ţină cursuri în SUA. Abia în 1944 reuşeşte să obţină un post permanent la Universitatea din Cambridge. În 1948 obţine medalia de merit, iar un an mai târziu premiul Nobel pentru literatură. Se stinge din viaţă la 2 februarie 1970 în vârstă de 98 de ani[2].

Opera lui Bertrand Russell însumează peste 70 de volume. Amintim aici pe cele mai importante: The principles of mathematics, 1903; Principia mathematica (în colaborare cu Alfred Nort Whitehead), 1910-1913; The problems of Philosophy, 1910; Our knowledge of the External World, 1914; The Philosophy of Logical Atomism, 1918; The analysis of Mind 1921; Sceptical Essays, 1928; Mariage and Morals, 1929; An Inquiry into Meaning and Truth, 1940 şi History of Western Philosophy, 1945.

În analizele sale filosofice, Russell s-a ghidat după trei principii: principiul empirist (preeminenţa cunoaşterii prin simţuri, sentimente sau gânduri), principiul briciului lui Occam (eliminarea din cadrul cercetării filosofice a tot ceea ce este inesenţial) şi principiul logicist (derivarea matematicii din conceptele şi principiile logicii).[3]

După o perioadă de cochetare cu filosofia neohegeliană promovată de unii dintre foştii săi profesori, Russell se lansează într-o critică severă împotriva idealismului, încercând să pună bazele unei filosofii ştiinţifice epurate de sentimentalisme şi capricii temperamentale.

Începutul reflecţiilor filosofice ale lui Russell a fost legat de sesizarea unor paradoxuri matematice, pe care a încercat să le rezolve prin intermediul logicii. La scurt timp după descoperirea de către Georg Cantor a paradoxului mulţimilor, Russell, care avea serioase rezerve faţă de unele puncte ale teoriei cantoriene a mulţimilor, identifică în cursul anului 1900[4] o primă variantă a paradoxului. În iunie 1902 îi trimite o scrisoare lui Gottlob Frege, care tocmai lucrase la o axiomatizare şi o sistematizare logică a teoriei cantoriene a mulţimilor, semnalizându-i paradoxul[5]. Întâmplarea a făcut ca lucrarea lui Frege Grundgesetze der Arithmetik (Legile fundamentale ale aritmeticii) să fie deja sub tipar. Alarmat de sesizarea lui Russell şi conştient de greşeală, fuge la tipografie şi adaugă pe ultima pagină a tratatului o scurtă postfaţă, în care scrie cu durere în suflet următoarele: „Un om de ştiinţă nu poate să întâlnească nimic mai stânjenitor decît ceva ce, după terminarea unei lucrări, vine să zguduie unul dintre pilonii construcţiei sale. O scrisoare a lui Bertrand Russell m-a pus în faţa unei astfel de situaţii, tocmai când tipărirea prezentului volum lua sfârşit.” Pentru Russell „mulţimea tuturor mulţimilor ce nu se conţin ca element” are două posibilităţi: să se conţină ca element sau să nu se conţină ca element:
– dacă X (notăm astfel mulţimea tuturor mulţimilor ce nu se conţin ca element) este în mulţimea X, atunci, după modul cum a fost definită mulţimea X, rezultă că X nu este în mulţimea X: contradicţie!
– dacă X nu este în mulţimea X, atunci, după modul cum a fost constituită mulţimea X rezultă că X este în mulţimea X: din nou contradicţie!
Concluzie: noţiunea de mulţimea tuturor mulţimilor este un paradox logic[6].

Nu ne propunem să oferim în detaliu varianta formalizată a Paradoxului lui Russell. Câteva precizări sunt însă indispensabile înţelegerii lui.

Paradoxul lui Russell are două versiuni:

1. în termenii logicii claselor.
2. în termenii logicii predicatelor.

Versiunea I:
Există două tipuri de clase:

1. clase care se autoconţin A
2. clase care nu se autoconţin A A

Luăm acum clasa tuturor claselor care nu-şi aparţin. Se pune întrebarea: clasa claselor care nu se autoconţin se autoconţine sau nu? Dacă pornim cu ideea că se autoconţine, ajungem la concluzia că nu se autoconţine.

Versiunea II:
Predicatele se împart în două categorii: predicate care se aplică lor însele, deci care sunt predicabile, şi predicate care nu se aplică lor însele, deci impredicabile.

Dacă pentru predicabile e imposibil de găsit un exemplu (Russell însuşi nu ştia ce natură au astfel de predicate, deşi presupunea o astfel de posibilitate), pentru impredicabile am putea da ca exemplu întrebarea: Este culoarea roşie, roşie? E clar că ea nu poate fi roşie, decât că lucrurile sunt roşii. Cu alte cuvinte, conceptul de număr par nu poate fi par, ci numerele sunt pare. Universalul nu se aplică lui însuşi. Avem o totalitate a tuturor predicatelor. Se pune atunci problema: predicatul de impredicabil se aplică lui însuşi sau nu? Dacă impredicabilul se aplică lui însuşi, înseamnă că el are proprietatea pe care el o afirmă, şi atunci impredicabilul este impredicabil. Asta înseamnă că nu se aplică lui însuşi.

Russell încearcă să elimine paradoxul oferind drept soluţie teoria tipurilor. Această teorie elimină conceptul de predicabil, ceea ce înseamnă că nici un predicat nu se aplică lui însuşi.

Teoria tipurilor este constituită pe principiul ierarhizării, unde mulţimea (clasa) este de un tip superior tipului elementelor sale. În ierarhia tipurilor, o entitate aparţine doar unui singur tip. O proprietate nu poate fi atribuită decât unei entităţi de tip inferior tipului respectivei proprietăţi.

După teoria tipurilor, mulţimea tuturor mulţimilor este considerată de tip superior tipului ei înseşi[7].

Propoziţiile se împart la Russell[8] în 3 categorii:

1. adevărate (ex. 2+2= 4);
2. false (ex. 2+2=7);
3. nici adevărate, nici false, ci fără sens (Sinnlos) (ex. 2+2=albastru, 2+2=cafea).

Propoziţiile false au sens, dar nu sunt adevărate, în timp ce propoziţiile fără sens nu sunt nici false, nici adevărate[9].

Împărţirea tripartită a propoziţiilor este de fapt o consecinţă a teoriei tipurilor, întrucât aceasta limitează tipurile de predicate care pot reveni unui obiect. Pentru a da un exemplu plastic, să ne imaginăm un bloc cu o infinitate de etaje. Teoria tipurilor ne spune că nu poţi sări de la etajul 2 la etajul 4, ci că trebuie să treci prin etajul 3. Propoziţiile fără sens fac asemenea salturi pe etajele tipurilor logice: vor să sară de la etajul 2 la etajul 4.

Prin teoria tipurilor, Bertrand Russell a reuşit să salveze logicismul, iar prin formularea paradoxului a generat progrese în diverse ramuri ale matematicii, deschizând calea discursului metamatematic.

https://vasilechira.wordpress.com/category/filosofie/

________________________
[1] Russell iniţiază atomismul logic ca reacţie critică la teoriile legate de fundamentele matematicii, însă o amplă dezvoltare a acestui curent va fi realizată de către Wittgenstein.
[2] Pentru amănunte biografice, vezi Anton Hügli şi Paul Lübcke (coordonator), Filosofia în secolul XX, vol. 2, trad. rom. de Andrei Apostol, Mihnea Căpraru, Cristian Lupu, editura ALL Educaţional, Bucureşti, 2003, p. 84-87.
[3] Ibidem, p. 91.
[4] Anul identificării paradoxului reiese dintr-o scrisoare adresată de către Russell lui Couturat.
[5] În literatura de specialitate se vehiculează şi ideea că paradoxul a fost de fapt descoperit de matematicianul Ernst Zermelo cu un an sau doi înaintea lui Russell. De altfel, în limba germană în denumirea paradoxului figurează şi numele lui Zermelo (Zermelo-Russellsches paradoxon). Chiar dacă aşa ar sta lucrurile, Russell are meritul incontestabil de a-l fi descris şi prezentat în premieră comunităţii ştiinţifice.
[6] Vezi dr. Dorin Mărghidanu, Paradoxul lui Russell şi câteva variante populare ale sale, http://egovbus.net/rdl/articole/No 1 ART 15.pdf
[7] Ibidem.
[8] Cele trei categorii de propoziţii se regăsesc şi în analizele lui Carnap şi Wittgenstein.
[9] O astfel de propoziţie fără sens este celebra dilemă vehiculată în perioada scolastică: Poate face Dumnezeu o piatră mai mare decât ar putea-o ridica? La această întreabare nu există un răspuns logic, pentru că e incorect formulată: introduce negaţia în statutul ontologic al Infinitului, or, se ştie că Infinitul (Dumnezeu, Absolutul) e supra afirmativ şi supra negativ.